不定方程问题

　　数量关系中，最基础最常用的解题方法是方程法。方程数大于等于未知数个数，可以通过使用移项、加减消元法、代入消元法等方法正常求解，这种方程我们称为定方程;未知数个数多于方程个数，不能通过一般的消元法直接得到唯一解，这种方程我们称为不定方程。今天我们来看一下不定方程怎么求解。

　　(一)题型特征

　　【示例】(2020广东)某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋( )个。

　　A.2                   B.3

　　C.5                   D.7

　　【解题思路】结合“共有153份相同的文件……每个文件袋都正好装满”我们可以知道，大文件袋装的文件和小文件袋装的文件之和为153，设需要大、小文件袋各x、y个，列方程24x+15y=153，化简得8x+5y=51，求的是x。文件袋个数一定是正整数，所以我们可以把选项代入到方程中，只要算出来y也为正整数即可。依次代入选项验证：A选项，当x=2时，y=7，符合题意。代入B、C、D选项均无法使y取到整数解，排除B、C、D。

　　因此，需要大文件袋2个。

　　(二)规律总结

　　通过上面这道题，我们能够发现，对于不定方程问题，我们可以通过代入排除的方法定位正确选项，当然，有些时候需要代入的次数比较多或者不适合代入选项，这时候就需要根据奇偶特性、倍数特性、尾数特性等数字特性缩小未知数的范围，再结合代入排除法求解。

　　(三)实战运用

　　【例1】(2020四川)某人花400元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃?

　　A.3                    B.4

　　C.5                    D.6

　　【解题思路】设甲、乙、丙三个品种分别购买了x、y、z盒，那么由题意有28x+32y+33z=400。3个未知数，一个方程，代入选项以后还有两个未知数，无法求出来具体值，这时候我们就可以利用数字特性缩小未知数的范围，由于盒数都是正整数且28x、32y、400都是4的倍数，那么33z必然是4的倍数，即z是4的倍数，只有B符合题意。

　　因此，选择B选项。

　　【例2】(2019内蒙古)某次田径运动会中，选手参加各单项比赛计入所在团体总分的规则为：一等奖得9分，二等奖得5分，三等奖得2分。甲队共有10位选手参赛，均获奖。现知甲队最后总分为61分，问该队最多有几位选手获得一等奖?

　　A.3                  B.4

　　C.5                  D.6

　　【解题思路】设获得一等奖的有x位选手、获得二等奖的有y位选手、获得三等奖的有z位选手。根据共10位选手总分为61分，可列不定方程组：x+y+z=10①，9x+5y+2z=61②，②-①×5可得：4x-3z=11。问该队最多有几位选手获得一等奖，最值代入，优先代入D选项，x=6，z无整数解，排除;代入C选项，x=5，z=3，y=2，满足题意。

　　因此，选择C选项。

　　当列得不定方程组时，如果求的是x、y或z的具体值，可以先通过加减消元，消去一个未知数，变成不定方程，再代入求解。

　　通过以上3个例题，相信同学们对不定方程问题的题型特征及解题方法已经有了一个具体的认识。更多相关考试信息请及时关注华图教育官网!